Les mathématiques comportent d’innombrables notions que l’on aborde dans les classes inférieures et supérieures. Aujourd’hui, nous allons nous intéresser particulièrement aux identités remarquables. Il s’agit d’expressions en maths qui sont utilisées pour résoudre des équations et effectuer des calculs en tout genre. Contrairement à ce que l’on pourrait penser, il n’est pas besoin d’être un expert en mathématiques pour comprendre ce qu’est une identité remarquable. Il suffit de connaitre les bonnes notions à apprendre. Dans notre article, apprenons facilement les caractéristiques et les principes de fonctionnement de ces identités remarquables.
Les identités remarquables, qu’est-ce que c’est ?
Une identité remarquable est une expression mathématique qui se présente sous la forme d’une équation littérale. Ces expressions en maths sont généralement utilisées pour résoudre des équations.
Ce sont des formules invariables faisant partie intégrante du programme scolaire en secondaire. L’expression algébrique est indispensable pour simplifier la résolution de certains calculs.
En classe de 3e, les identités remarquables sont apprises pour effectuer le développement d’équations. Une fois la notion maitrisée, on passe par la suite à la factorisation.
Les 3 identités remarquables du second degré
Une identité remarquable est constituée de nombres ou de fonctions polynomiales. Aussi appelées égalités remarquables, les expressions permettent de faire des calculs plus rapides et plus efficaces.
Le principe de fonctionnement de l’expression est très simple, il suffit de remplacer les expressions littérales par des nombres ou un polynôme. Il est possible de distinguer 3 identités remarquables du second degré :
La première identité remarquable : (a + b)2 = a2 + 2ab + b2
Pour donner une première idée du fonctionnement, allons directement remplacer les expressions par des nombres. Pour développer l’équation (2x + 3)2, la méthode classique va prendre énormément de temps : (2x + 3)2 = (2x + 3) (2x + 3) = 4x + 6x + 6x + 9 = 16x + 9.
L’utilisation de la première identité remarquable offre dans ce cas un gain de temps énorme : (2x + 3)2 = 4x + (2 × 2x × 3) + 9 = 4x + 12x + 9 = 16x + 9.
La deuxième identité remarquable : (a – b)2 = a2 – 2ab + b2
Tout comme la première identité remarquable, la deuxième est utilisée pour faciliter toutes sortes de calculs mathématiques. Pour développer (3x – 4)2, il faut juste appliquer l’égalité littérale en remplaçant les chiffres : (3x – 4)2 = 9×2 – (2 × 3x × 4) + 32 = 9×2 – 24x + 9 = -15x + 9
La troisième identité remarquable : (a + b) (a – b) = a2 – b2
Le mode d’utilisation de la dernière identité remarquable reste similaire aux précédentes. Pour l’utiliser, remplacer les valeurs de a et de b. Prenons exemple :
(2x + 3) (2x – 3) = 4×2 – 9
Faut-il être un as des maths pour les comprendre ?
Comme vous pourrez le constater, il n’y a rien de bien compliqué, il faut juste bien prendre les bases mathématiques en compte pour éviter de s’y perdre. Nul besoin d’être un expert en maths pour comprendre ces identités.
La notion d’égalités remarquables est initiée en classe de 3e dans le programme d’études des nombres et des calculs :
- La double distributivité ;
- La factorisation grâce aux identités remarquables ;
- La résolution de problèmes ;
- Les puissances de base à exposant négatif,
- Les fractions irréductibles ;
- Les transformations d’expressions littérales ;
- Les mises en équation ;
- Ainsi que les racines carrées.
Il est donc impératif de bien suivre ses cours afin de mieux assimiler les méthodes de calcul et les diverses formules mathématiques. Vous pouvez aussi suivre des cours personnalisés.
Existe-t-il d’autres identités similaires ou plus complexes ?
Difficile de venir vous énoncer tout le programme de mathématiques à connaitre en secondaire en niveau supérieur. Tout ce qu’il faut savoir, c’est que d’autres identités similaires existent, comme l’identité de Lagrange par exemple.
Il s’agit d’une expression pour les binômes, plus simples retenir. Pour les maitriser, apprenez les formules y afférant.
Les identités pour binômes
L’identité de Lagrange : (a2 + b2) (x2 + y2) = (ax + by)2 + (ay – bx)2.
Exemple
On a : (z2 + 22) (z2 + 32) = (z2 + 6)2 + (3z – 2z)2, on obtient a = z, b = 2, x = z et y = 3.
Lorsqu’on développe les produits obtenus : (a2 + b2) (x2 + y2) = 1 a2x2 + a2 y2 + b2 x2 + b2 y2= 2 a2x2+ b2 y2+ b2 x2+ a2 y2 et ainsi de suite.
Conclusion
Les identités remarquables font souvent l’objet d’interrogations de la part des élèves : Pourquoi sont-elles utiles ? Dans quels cas de calculs sont-elles utilisées ?
Les égalités remarquables sont des sortes de raccourcis évitant d’avoir à faire de longs calculs mathématiques pour résoudre une équation ou des problèmes. Elles rendant plus simples et plus faciles les méthodes de calculs complexes, qui prennent du temps.
